<div class="text-justify">El estudio de las matrices se inicia con el matemático británico James Joseph Sylvester (1814-1897), quien usó el término por primera vez en 1850 para diferenciar las matrices de los determinantes.</div><br>

![matrices.jpg](https://cdn.steemitimages.com/DQmWpBde9BWN2fZ34aS9jQfPXeVC8uB2sSHqL7UMofpJ6r1/matrices.jpg)

<div class="text-justify">Una matriz mxn es un arreglo rectangular de <b>mxn</b> números distribuidos en un orden definido de <b>m</b> filas y <b>n</b> columnas.</div><br>

<div class="text-justify">Las matrices se denotan mediante letras mayúsculas. En genral la matriz A constituida por m filas y n columnas se expresa como <b>A</b> <b>mxn</b>, y su representación es la siguiente:<br>
<center>https://cdn.steemitimages.com/DQmdb29KzKWhTE4SFRvn6qpAVK616hv914246gh7Hx9FbRe/image.png</center>
Donde https://cdn.steemitimages.com/DQmQoYmCZ77jgX1MxBnjGxhK2368t3yD8Ba8mceVCk8sjro/image.png y https://cdn.steemitimages.com/DQmb5Su4F4p4ikoX4vX7Ed3AMvH4mTUrGR6GWAxFrZ9CdGv/image.png.<br>

Cada elemento de la matriz se encuentra ubicado en una fila <b>i </b> y una columna  <b>j </b> donde https://cdn.steemitimages.com/DQmRSjm3kPgcTT59i2VZPK4RAHTYXszYNgysbt2B9Dt1cj9/image.png y https://cdn.steemitimages.com/DQmXFuHcAJjkcF76Jbgpu4QhWRJyGzEmwi3tB3YspXH4uVL/image.png

Este término se escribe https://cdn.steemitimages.com/DQmZBaRmVjZRMCPHb8E6ztK5MayrHhzjLVDJSsqmowXgWr3/image.png.<br>
De manera general, la matriz A puede ser expresada como A=(https://cdn.steemitimages.com/DQmZBaRmVjZRMCPHb8E6ztK5MayrHhzjLVDJSsqmowXgWr3/image.png)

Veamos la siguiente matriz:<br>
https://cdn.steemitimages.com/DQmd3TsveDwvPVCkqh3qujeLLDiLEvzzRP3LnYcFfra55B9/image.png
Obsérvese que dicha matriz tiene 4 filas y 3 columnas, por lo tanto es una matriz 4x3. 
El término https://cdn.steemitimages.com/DQmWugGByRexLMrWXRwwERFFJAQPq2YbAX2CzzXUc8PNpoS/image.png se encuentra ubicado en la intersección de la fila 3 con la columna 2, que en nuestro caso es 4.
Observaciones:<br>

<li>El tamaño de la matriz está definido por su número de filas m y de columnas n, es decir   mxn.</li> <br>
<li>Cuando m=n se dice que la matriz es cuadrada.</li><br>
<li>Dos matrices son iguales si y sólo si tienen el mismo tamaño y los componentes correspondientes son iguales.</li><br>
<li>Una matriz es nula si todos sus componentes son iguales a 0.</li><br>
Identifiquemos cada una de las siguientes matrices:<br>
1)
https://cdn.steemitimages.com/DQmbdmH9jgZxnG3sEyXmY1Yip32nYEggCaZqHp3mPkfCp8R/image.png
A es una matriz 2x2, como tiene igual número de filas que de columnas se dice entonces que es una matriz cuadrada.<br>
2)https://cdn.steemitimages.com/DQmfGvKnJKowYQBjrBeNnH2bKdehjB6GfymVxEa3SYphApt/image.png
B es una matriz nula 3x2<br>

# Relación entre vectores y matrices
Un vector puede ser considerado como una matriz, por ejemplo el n-vector fila https://cdn.steemitimages.com/DQmebNdD8URCy1AbqYq8Cuhvbh3VPi3QoesPchfkdex8V6C/image.png puede ser considerado como una matriz de una fila y n columnas. Mientras que el vector https://cdn.steemitimages.com/DQmXkNmjFPvzyh2MvbRR6u7Q17yLbB91PqEGw9aBQX4opQR/image.png puede ser considerado como una matriz de m filas y una columna.

# Suma de matrices.
Consideremos las matrices https://cdn.steemitimages.com/DQmS32qaKRqaDhFPJqGygidgC9iUd9B7yTZcS2EykPRnTgD/image.png y https://cdn.steemitimages.com/DQmfJ9v9Bk4DvCJEEdFaU24AAijsxcWisGyqSWzMns2rShX/image.png del mismo tamaño.
Entonces la suma de A y B, representada por A+B es otra matriz que se obtiene sumando las componentes correspondientes de las matrices A y B.<br>
Esto es:<br>
https://cdn.steemitimages.com/DQmNrSsnhw5o13c1JqY9vVKMtFvyek6TqztUCVhvYs23BRK/image.png
# Producto de un escalar por una matriz
Sea https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png un escalar  y A una matriz mxn, entonces:<br>
https://cdn.steemitimages.com/DQmP4d8koQoWeqKD5A5gfCn4uGgrNjxWMNeGnQixRZi2Don/image.png
# Veamos el siguiente ejemplo
Dados: el escalar https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png =-5 y la matriz https://cdn.steemitimages.com/DQmUCFjZPGzPj7M9SjY1PxmXjGqiJ1gVWw66GxZH8joENFt/image.png, hallar A + https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png A.<br>
Solución:<br>
A + (-5)A= https://cdn.steemitimages.com/DQmUCFjZPGzPj7M9SjY1PxmXjGqiJ1gVWw66GxZH8joENFt/image.png + (-5)https://cdn.steemitimages.com/DQmUCFjZPGzPj7M9SjY1PxmXjGqiJ1gVWw66GxZH8joENFt/image.png=https://cdn.steemitimages.com/DQmUCFjZPGzPj7M9SjY1PxmXjGqiJ1gVWw66GxZH8joENFt/image.png +  https://cdn.steemitimages.com/DQmYe5DatvDATS7qThyD7nbXU9542YFzVECjwVjH54KjojS/image.png = <center>https://cdn.steemitimages.com/DQmSZg8ynHmKWMDxEAqBJgeTyFZLYi98FpWj4W393tLqrKu/image.png</center>
Observación: 
Estas operaciones con matrices son similares a las mismas operaciones con vectores.
# Propiedades de la suma de matrices y la multiplicación de una matriz por un escalar
<li>Conmutativa para la adición de matrices: Dadas dos matrices A y B, siempre se cumple que: A+B=B+A</li>
<li>Asociativa para la adición de matrices: Dadas las matrices A, B y C, siempre se cumple que:  (A + B)+C= A+(B+C)= (A+C) +B</li>
<li>Elemento neutro para la suma de matrices: Para toda matriz A existe la matriz 0 del mismo tamaño tal que: A+0=0+A=A</li>
<li>Factor cero para la multiplicación de una matriz por un escalar: Para toda matriz A existe el escalar 0 tal que  0.A=0  nos da la matriz nula.</li>
<li>Elemento neutro para la multiplicación de una matriz por un escalar: Para toda matriz A existe el escalar 1 tal que 1.A=A.1=A </li>
<li>Distributiva de la multiplicación de una matriz por un escalar: Para todo escalar https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png  se cumple:
https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png(A+B)= https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png A + https://cdn.steemitimages.com/DQmdzyLRTrPN5eBtCGQZdJKwcJvbArWSeSSfpKyo9iZX9zA/image.png B</li><br>

# Ejemplo<br>
Dadas las matrices:<br>  https://cdn.steemitimages.com/DQmRLpJvRA92fc5PuWHbf2HDLQn1b3sUtCuzUH16nJFHNTx/image.png,  https://cdn.steemitimages.com/DQmSC4ydP87YcCYQddwVXzDxjD1XesiUyJycrwWpAv5DYgg/image.png y https://cdn.steemitimages.com/DQmTfrDE2wHbg82PxJZiafkpx5unotxT57ufwfcmmqS2BKd/image.png
Encuentre una matriz D, de manera que A+B+C+D sea la matriz 0<sub>3x3</sub>
Solución:<br>
Consideremos que la matriz https://cdn.steemitimages.com/DQmTv6iPBDJkPtm1bjUkSUGSyrAgQH9feApyNXYPvDH6C3t/image.png entonces: A+B+C+D = 0<sub>3x3</sub> ( O es la matriz nula 3x3 ), desarrollemos esa igualdad con la finalidad de conseguir los d<sub>ij</sub> donde i y j se encuentran entre 1 y 3; los cuales corresponden a los componentes de la matriz D.
Comencemos:<br>

https://cdn.steemitimages.com/DQmXYovj94sDBJ89VyUG7coW3uAQRgch48EuEx1yCKm2rZV/image.png + https://cdn.steemitimages.com/DQmPmM4es4K6PXqe2JYgYSrfb9GgwYocWS3HzH7Ts6V7ATV/image.png + https://cdn.steemitimages.com/DQmNbEJKwXYVLUMddMQTxAjmsEMgSU6x3KUqLbVhqrKjtNU/image.png + https://cdn.steemitimages.com/DQmcS8jCTrh8TvmEWqRocD29CGkhYTJpAQyDHqub5M6RPCn/image.png = https://cdn.steemitimages.com/DQmWheeJnEHqcnmcdNkegj7vBvsPUcpXLjMbwKcxgFgjvni/image.png
Desarrollando las adiciones correspondientes se obtiene la siguiente igualdad de matrices:<br>

https://cdn.steemitimages.com/DQmYRRV1FCsAdSZpnsto86Ts8tF1m9VNDniNq2ErxQYXrSm/image.png =  https://cdn.steemitimages.com/DQmWheeJnEHqcnmcdNkegj7vBvsPUcpXLjMbwKcxgFgjvni/image.png<br>
De donde se obtienen la siguientes ecuaciones lineales:
https://cdn.steemitimages.com/DQmXL84y5hPKKh3LR8gnvmzbE2zeVNcdZa28T6bbTyVrbEe/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmZviak4di7b3iqpr5MLH2V47V71zsoUDXDmypC4vBQrm7/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmRuUk8pTwD4EDRC3Ff4udx4pSPnkfvpcFyJJkJaLTe5mS/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmbHdhdXNXc3vb2oGSRj54GQ212GaPdKfzxjrpoSv98LdX/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmTeZotm3EzuaeVjdyrdbgtnRpEqjVoxrgzEuxWpU8WmAD/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmf2HZ6eeibnkz1d7SU6qKsG56BWatipB9TQFmMki7ybXw/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmYfVSrNB3UYxNy91WTDT8Xv2Yo38aQto5pAbktpwWk8dp/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmeMkNypAd7YnZVmGNuPvkJDk7P8BombWaoh4C5uVsLrFk/image.png
https://cdn.steemitimages.com/DQmXsuFQRjTkfcSorV77XCc2jACGhmQMArhFKrmQvutBu37/image.png
Que nos permite estructurar la matriz https://cdn.steemitimages.com/DQmY3hXWP5wPVRN4C8WeJmWKUSsBLDDrkMsH9QxkGubLovx/image.png, con lo cual resolvemos el problema.

![separador.jpg](https://cdn.steemitimages.com/DQmPM9WXQ2TqLutdM3zvJT8j3LjGPugH8FZxsetS85oAYRd/separador.jpg)

Referencias: 
Seymour Lipschutz (1970). Álgebra lineal. Serie Schaum. McGraw-Hill.
Stanley I. Grossman( 1983) . Álgebra Lineal. Grupo Editorial Iberoamérica.

La imagen de entrada fue creada con la ayuda de powerpoint.
El resto de las imágenes fueron creadas con el editor en línea de ecuaciones lateX.

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![Separador ana lealsuarez.jpg](https://cdn.steemitimages.com/DQmYyS5s6B16A3XVDkBGUsxTaT2fiE9DecWr4JuSbHiVKHq/Separador%20ana%20lealsuarez.jpg)
# <center>https://cdn.steemitimages.com/DQmbmdXmbdmRd4hEs6tVDCCZucK6ze4br5UdrVtZkCHHs8p/image.png</center>