Appendix: What is the quotient set?
kr-newbie·@kjs105·
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# Introduction
저번시간에 어떤 집합 위에 정의된 equivalence relation의 개념과 예시에 대해 배웠습니다. 오늘은 지난번에 언급했던 quotient set 에 대해서 알아보고, 구체적인 예시를 들어보겠습니다. 그리고 Group의 Example들을 다룰 때 들었던 예시 ℤ/*n*ℤ 를 다시 설명해 보겠습니다.
우선, *S* 를 set 이라고 두고 ~를 equivalence relation on *S* 라고 하겠습니다. any 원소 *x*∈*S*에 대하여 **Equivalence class** 라는 것을 정의 하겠습니다:
## Definition
다시 말해서, *x*∈*S*의 equivalence class [*x*]는 *S*의 원소 중에서 x와 ~로 relation이 있는 것들을 원소로 갖는 집합입니다. 나은 이해를 위해 예시를 들어보겠습니다:
## Example
ℤ 위에서 equivalence relation 을 생각할 수 있는데 대표적인 예가 저번 글에서 말씀드렸던 ≡ (*mod* *n*) 입니다 (*n*은 정수).
보다 구체적으로 보기 위해서 *n*=*5*라고 합시다. 그러면 equivalence classes 들은 다음과 같이 됩니다:
> ······
> [0]={···,-10,-5,0,5,10,···}=5ℤ
> [1]={···,-9,-4,1,6,11,···}=1+5ℤ
> [2]={···,-8,-3,2,7,12···}=2+5ℤ
> [3]={···,-7,-2,3,8,13···}=3+5ℤ
> [4]={···,-6,-1,4,9,14,···}=4+5ℤ
> ······
이것은 equivalence class의 정의로 부터 쉽게 알 수 있습니다 (체크해 보세요).
> [a] 의 원소는 *a*≡*b* (*mod* *5*)인 모든 *b*∈ℤ 입니다. 다시 말해서, *a*와 *b*를 5로 나누었을 때 나머지가 같은 정수 *b* 들을 원소로 갖는다는 말입니다.
이 예시로 알 수 있는 놀라운 점이 있습니다:
> ≡ (*mod* *5*) 에 대하여 다른 원소 *a,b*∈ℤ 들에 대해서는 [*a*] 와 [*b*]가 다르구요, 심지어 [*a*]와 [*b*]의 교집합이 공집합 입니다.
> ≡ (*mod* *5*) 에 대하여 같은 원소 *a,b*∈ℤ 들에 대해서는 [*a*]와 [*b*]가 같습니다.
> 모든 *a*∈ℤ에 대하여 [*a*]를 합집합 하면 전체 집합 *S* 가 됩니다.
이를 일반적인 set *S* 와 equivalence relation ~ on *S* 에도 생각해 볼 수 있습니다:
### Proposition
이러한 성질을 equivalence classes 가 *S*의 **partition** 을 만든다고 합니다. (the equivalence classes form a partition of *S*)
이 proposition을 다음과 같이 증명할 수 있습니다:
### Proof
자, 그럼 집합 *S*의 partition이라는게 무슨 의미일까요? 말 그대로 *S*를 쪼갠다는 의미입니다. 위의 예시 ℤ에서 the equivalence classes under ≡ (*mod* *5*) 가 ℤ를 5등분으로 쪼개는 것을 알 수 있습니다:
> ℤ=[0]∪[1]∪[2]∪[3]∪[4]
마지막으로 대망의 **quotient set**을 정의하겠습니다:
# Definition
그러면 앞의 Proposition에 의해서 *S*/~ 는 *S* 의 partition이 됩니다.
> ex) ℤ/≡ (*mod* *5*)={[0],[1],[2],[3],[4]}
그리고 ℤ/5ℤ=ℤ/≡ (*mod* *5*) 임을 알 수 있습니다 (as a set).
일반적인 정수 *n*에 대해서도 ℤ/*n*ℤ=ℤ/≡ (*mod* *n*) 입니다.
### 글을 마치며
다음시간에는 quotient set 의 중요한 예시들을 소개하겠습니다. 읽어주셔서 감사합니다.