08-07-2025 - Mathematical Analysis - Continuous Functions [EN]-[IT]
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 --- *~~~ La versione in italiano inizia subito dopo la versione in inglese ~~~* --- **ENGLISH** https://images.ecency.com/DQmNuqRpdWgTaWvjwbmaVWSemm13V7viV9jyRyVFHiMSbYA/optimized_image_1_.jpeg **08-07-2025 - Mathematical Analysis - Continuous Functions [EN]-[IT]** With this post I would like to give a brief instruction about the topic mentioned in the subject (code notes: X-77) ***Continuous Functions***  *image created with artificial intelligence, the software used is Microsoft Copilot* **Introduction** A function is defined as continuous if a function f at a point x0, making the input values around x0 vary little, the output varies little. We can say that following this variation the graph of a continuous function does not present jumps or holes. Here is a list of continuous functions:  **Properties of continuous functions and theorems** **Sum, product, quotient** The sum, product and quotient of continuous functions remain continuous. **Bolzano's Theorem** Bolzano's theorem is also called the zero theorem and states the following: Let a function f(x) be continuous in an interval [a.b], if f(a) and f(b) are different from zero and have different signs, then there exists an x0 that belongs to [a,b] such that f(x0) = 0 We can also describe it like this: let..  ... continuous on the closed interval [a,b]. If the values at the ends have opposite signs, that is...  Then there exists at least one point...  ...such that...  In short, we can say that Bolzano's theorem or zero theorem says that a continuous fiction that starts positive and ends negative, or the opposite, must cancel at least once within the interval. Below is a graph of a continuous function showing Bolzano's theorem  *image created with artificial intelligence, the software used is ChatGPT* **Continuity theorem of the inverse function** This theorem is very clear and says the following. We think we have the function...  ...a continuous and strictly monotonic function, with  Then the function inverse...  ... is continuous Below is a graph of a continuous monotone function and its continuous inverse.  *image created with artificial intelligence, the software used is ChatGPT* **Example of a function that cancels itself** Let's take the following function as an example:  Below is his graph  *image created with artificial intelligence, the software used is ChatGPT* The orange curve shows the trend of the function. In this case we see that it cancels out for at least one value between 0 and 1. ***Conclusions*** When we are faced with a continuous function it means that we are faced with mathematical models that reflect gradual transitions. With continuous functions we are able to calculate speed and probability ***Question*** The theorem of zeros was conceived by Bernard Bolzano (1781-1848). Did you know that he was a great Bohemian mathematician and philosopher? Did you know that his proof was innovative for the time, because he built his proof on functions, without resorting to geometric figures. **THE END** --- https://images.hive.blog/1536x0/https://files.peakd.com/file/peakd-hive/green77/gGQutTRs-hive-spacer.png --- **ITALIAN** https://images.ecency.com/DQmQ25zcp9Mna5r5gtLp786kVkVUpkVnQwgG7oWuMo88d7P/optimized_image.jpeg **08-07-2025 - Analisi Matematica - Funzioni continue [EN]-[IT]** Con questo post vorrei dare una breve istruzione a riguardo dell’argomento citato in oggetto (code notes: X-77) ***Funzioni continue***  *immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è Microsoft Copilot* **Introduzione** Un funzione viene definita continua se una funzione f in un punto x0, facendo variare poco i valori di ingresso attorno a x0, l'uscita varia di poco. Possiamo dire che a seguito di questa variazione il grafico di una funzione continua non presenta salti o buchi. Qui di seguito un elenco di funzioni continue:  **Proprietà delle funzioni continue e teoremi** **Somma, prodotto, quoziente** La somma, il prodotto ed il quoziente di funzioni continue, restano continue. **Teorema di Bolzano** Il teorema di Bolzano è detto anche teorema degli zeri e afferma quanto segue: Sia data una funzione f(x) continua in un intervallo [a.b], se f(a) e f(b) sono diversi da zero e di segno discorde, allora esiste un x0 che appartiene a [a,b] tale che f(x0) = 0 Possiamo descriverlo anche così: sia..  ... continua sull'intervallo chiuso [a,b]. Se i valori ai capi hanno segno opposto, cioè...  Allora esiste almeno un punto...  ...tale che...  In maniera breve possiamo dire che il teorema di Bolzano o teorema degli zeri dice che una finzione continua che parte positiva e finisce negativa, oppure il contrario, deve annullarsi almeno una volta dentro l'intervallo. Qui di seguito un grafico di una funzione continua in cui è mostrato il teorema di Bolzano  *immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT* **Teorema della continuità della funzione inversa** Questo teorema è molto chiaro e dice quanto segue. Pensiamo di avere la funzione...  ...una funzione continua e strettamente monotona, con  Allora la funzione inversa...  ... è continua Qui di seguito un grafico di una funzione continua e monotona e la sua inversa continua.  *immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT* **Esempio di una funzione che si annulla** Prendiamo come esempio la funzione seguente:  Qui di seguito il suo grafico  *immagine creata con l’intelligenza artificiale, il software usato è ChatGPT* La curva di colore arancione mostra l'andamento della funzione. In questo caso vediamo che si annulla per almeno un valore compreso tra 0 e 1. ***Conclusioni*** Quando siamo davanti ad una funzione continua vuol dire che siamo davanti a modelli matematici che riflettono transizioni graduali. Con le funzioni continue siamo in grado di calcolare velocità e probabilità ***Domanda*** Il teorema degli zeri, fu ideato da Bernard Bolzano (1781-1848). Lo sapevate che egli fu un grande matematico e filosofo boemo? Lo sapevate che la sua dimostrazione fu innovativa per il tempo, perché costruì la sua dimostrazione sulle funzioni, senza ricorrere a figure geometriche. **THE END**
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